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初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。

表示形式

分支

代数函数

代数函数 = 有理函数 + 无理函数
指变量之间的关系能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。求有理函数的反函数则可产生代数函数。如 y=xⁿ 的反函数为 x=y^1/n。

有理函数

实系数多项式称为整有理函数。其中最简单的是线性函数 y=α₀+α₁x，它的图象是过y轴上y=α₀点的斜率为α₁的直线。二次整有理函数y=α₀+α₁x+α₂x²的图象为抛物线。

两个整有理函数之比为分式有理函数。分式有理函数其中最简单的是反比例函数，其图象为双曲线。整有理函数和分式有理函数统称有理函数。有理函数起源于代数学。

两个复系数的多项式之比为有理函数，它实现扩充的复平面到自身的解析映射。分式线性函数是一个特殊的有理函数，它在复分析中有重要的意义。另一个特殊情形是幂函数w=zⁿ，n 是自然数，它在全平面是解析的。因此当n≥2时，它在全平面除z=0以外到处实现共形映射（保角映射）。它将圆周|z|= r变为圆周|w|=rn，将射线argz=θ变为射线argw=nθ。任何一个区域,只要该区域中任两点的辐角差小于2π/n，它就是w=zⁿ的单叶性区域。幂函数w=zⁿ的反函数为根式函数，它有n个值(k=0，1，…，n-1)，称为它的分支。它们在任何区域θ₁z<θ₁+2π中都单值解析。

无理函数

有理函数的根式.

超越函数

超越函数指变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如指数函数、对数函数、反三角函数等就属于超越函数。

常用函数

常函数

对定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。

三角函数

三角函数是起源于几何学的最简单的超越函数。

初等三角函数包括正弦函数 y=sin(x) 、余弦函数 y=cos(x) 、正切函数 y=tan(x)、余切函数 y=cot(x) 、正割函数 y=sec(x)和余割函数 y=csc(x)。高等分析学中用弧度制计量角度，即以单位圆周上的弧段量度相应的圆心角。

指数函数

形如y=x^a 的函数，式中a为不等于1的正常数。

对数函数

对数函数 = 指数函数的反函数，记作 y=log_a(x) ，式中a为不等于1的正常数，定义域是零到正无穷的开区间。指数函数与对数函数之间成立关系式， log_a(a^x) = x 。

反三角函数

三角函数的反函数 —— 反正弦函数y = arcsin(x) 、反余弦函数 y=arccos(x) （－1≤x≤1，0≤y≤π）、反正切函数y=arctan(x) 、反余切函数

等，以上这些函数常统称为基本初等函数。

双曲函数

由指数函数经有理运算可导出双曲函数。其性质与三角函数很相似。sinh(x)、cosh(x)分别称为双曲正弦和双曲余弦。像三角函数一样，由它们导出的双曲正切tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)和双曲余切coth(x)=cosh(x)/sinh(x) 等都称为双曲函数。

双曲正弦或超正弦

sinh(x) = (exp(x)-exp(-x))/2

双曲余弦或超余弦

cosh(x) = (exp(x)+exp(-x))/2

双曲正切

tanh(x) = (exp(x)-exp(-x))/(xp(x)+exp(-x))

双曲余切

coth(x) = (exp(x)+exp(-x))/(xp(x)-exp(-x))

双曲正割

sech(x) = 1/(exp(x)-exp(-x))

双曲余割

csch(x) = 1/(exp(x)+exp(-x))

它们有如下的几何解释，即双曲线x²-y²=1(x>0)上取一点M，又令O为原点，N=(1,0)，将ON，OM和双曲线上的弧所围面积记为θ/2，点M的坐标视为θ的函数，并记为 cosh(θ)和sinh(θ)，即有表示式 cosh²(θ)-sinh²(θ)=1。

幂函数

形如

的函数，式中a为实常数。

一般地，形如

（a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x、y=x²、y=1/x（注：y=1/x=x^-1）等都是幂函数。

初等复变函数 Complex Function

初等复变函数是在复数域的推广.

复变三角函数

例如将y=sin(x)和y=cos(x)中变量x换为复变量z，则得到复变三角函数w=sin(z)和w=cos(z)，它们是整函数。 tan(z)=sin(z)/cos(z)，cot(z)=cos(z)/sin(z)等是z的亚纯函数。它们具有实三角函数的很多类似性质：周期性、微商性质、三角恒等式等。但|sin(z)|≤1，|cos(z)|≤1不是对任何z都成立。三角函数与指数函数密切联系，因此应用时很方便。sinz的单叶性区域将Gk单叶并共形地映为全平面上除去实轴上线段[-1，1] 和负虚轴后得到的区域；它将Rk单叶并共形地映为全平面除去实轴上两条射线(

,-1]和[1,

)后得到的区域。类似地可以指出cos(z)的单叶性区域。

复变指数函数

在指数函数式w=e^x中将x换为复变量z，便得到复变指数函数w=e^z。复变指数函数有类似于实指数函数的性质：e^z是一整函数且对任何复数z，e^z≠0；它满足e^z1·e^z2=e^z1+z2；e^z 以2kπi为周期，e^z=e^z+2kπi；并且它的导数与本身相同，即 (e^z)'=e^z。函数w=e^z 在全平面实现共形映射。任何一个区域，只要对区域内任两点，其虚部之差小于2π，它就是e^z的单叶性区域。例如，指数函数把直线x=x₀变为圆周，把直线y=y₀ 变为射线arg(w)=y₀，因而把区域Sk变为区域 0<w<2π，把宽度为β的带形区域 α₀<w<α₀+β (β≤2π)变为开度为β的角形域 α₀<w<α₀+β。

复变对数函数

对数函数w=lnz是指数函数w=e^z的反函数，它有无穷多个值2kπ（k 为整数），称为它的分支。每一个分支在区域θ₀z<θ₀+ 2π 中是解析的。对数函数把这个区域单叶地变为带形区域 θ ₀<w<θ₀+2π，也把开度为β的角形域 θ₀<z<θ₀+β(β≤2π)变为宽度为β的带形区域 θ₀<w<θ₀+β。像实对数函数一样，它满足 ln(z₁)+ln(z₂)=ln(z₁·z₂)。

复变反三角函数

w=arcsin(z)，w=arccos(z)，w=arctan(z)分别是sin(z)，cos(z)和tan(z)的反函数，并称复变反三角函数。它们能由对数函数合成。它们都是多值函数。

复变双曲函数

将实双曲函数推广到复数域得复变双曲函数。像实双曲函数一样，复变双曲函数能由复变指数函数合成。

复变幂函数

将实幂函数的实变量用复数替换即得复变幂函数。一般来说，它是多值函数。

导数与微积分函数

一般初等函数的导数还是初等函数，但初等函数的不定积分不一定是初等函数。另外初等函数的反函数不一定是初等函数。

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检测 - 例题 :

$(d^0.5y)/dx^0.5 = sin(x-1)sin(y-1)$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 -cosh(y)-sinh(y)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-int y(x) (dx)^(0.8)-y-exp(x)=0$ == ? $int y(x) (dx)^0.5 -y-exp(x)$ =0 == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)x=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)y=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=cos(x)/xy$ == ? $y(dy^0.5)/dx^0.5-sqrt(x)-1=0$ == ? $(d^1.2y)/(dx^1.2)-2(d^0.6y)/dx^0.6+y-exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=cos(y)exp(x)x$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-2(d^0.8y)/dx^0.8+y-exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)sqrt(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-3 (d^0.8y)/dx^0.8+2y-exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5$ +log(y-1)-exp(x)-x=0 == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)sin(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 = ysin(x)/x$ == ? $y^((0.5))(x) -4 exp(x)y-exp(x)=0$ == ? $(dy^0.5)/dx^0.5 = 1/(x-y)$ == ? $dy/dx-(d^0.5y)/dx^0.5$ - y - exp(x)=0 == ? $(dy)/dx -exp(y-1)-x-x^2=0$ == ? $(d^1.2y)/(dx^1.2)-3dy^0.6/dx^0.6+2y-exp(x)=0$ == ? $dy/dx-(d^0.5y)/dx^0.5-y-1$ =0 == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-cos(y)sin(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(4x)=0$ == ? $dy/dx-exp(y-1)-exp(x)=0$ == ? $(dy)/dx - 2(d^0.5y)/dx^0.5-y-exp(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 -e^(4x)-y$ =0 == ? $y^((0.5))(x) - exp(x)y-exp(x)=0$ == ? $y^((0.5))(x) - exp(x)y-4exp(x)=0$ == ? $(dy)/dx -3(d^0.5y)/dx^0.5 +2y-exp(x)=0$ == ? $y(d^0.5y)/dx^0.5-sqrt(x)-1=0$ == ? $y^((1))(x)-exp(y-1)-x=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-2y-exp(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(4x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 - log(y-1) - exp(x) + x=0$ == ? $(dy)/dx +asin(y-1) - cos(x)-x=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-3(d^0.8y)/dx^0.8+2y-exp(x)=0$ == ? $(dy)/(dx) -sqrt(y-1)-x-1 =0$ == ? $(dy)/(dx) -exp(y-1)-exp(x) = 0$ == ? $(dy)/dx$ +asinh(y-1)-cosh(x)-x =0 == ? $((d^(1/2)y)/dx^(1/2))^2 -3y (dy^0.5)/dx^0.5 + 2y^2 = 0$ == ? $(dy^0.5)/dx^0.5 = cos(x)cos(y-1)$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 +log(y-1)-exp(x)-x=0$ == ? $(dy^0.5)/dx^0.5 = sin(x-1)exp(y-1)$ == ? $y(d^2y)/dx^2-(dy/dx)^2+1=0$ == ? $y^((1))(x)-exp(y-1)-log(x)=0$ == ? $(d^2y)/dx^2 exp(x)- exp(y-1)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-2 (d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-2 (d^0.8y)/dx^0.8+y-exp(x)=0$ == ? $(dy)/dx -3 (d^0.5y)/dx^0.5+2y-exp(x)=0$ == ? $y^((0.5))(x) - xy-x=0$ == ? $y(dy^3)/dx^3-x^3-3x^2-3x-1=0$ == ? $y^((1.8))(x)-2y^((0.9))(x) +y-1=0$ == ? $y^((0.5))(x)=1/(xy-1)$ == ? $y^((2))(x)y^2-x^2-2x-1=0$ == ? $((d^0.5y)/dx^0.5)^2 -5(d^0.5y)/dx^0.5 +6=0$ == ? $y^((0.5))(x) -2 exp(x)y-4exp(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(x)=0$ == ? $y^(0.5)(x)=2yexp(x)$ == ? $y^((0.5))(x)-exp(x)y^2=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-2(d^0.8y)/dx^0.8+y-exp(x)=0$ == ? $y^((1))(x)-y^2-xy=0$ == ? $y^((1))(x)-y^((0.5))(x) -y-1=0$ == ? $y^((2))(x) -y^2-x^2=0$ == ? $y^((2))(x) -y^2-x^2-2xy=0$ == ? $y^((0.5))(x) -int y(x) (dx)^0.5-y-exp(x)=0$ == ? $d^0.5/dx^0.5 y -2cos(y)exp(x)=0$ == ? $d^0.5/dx^0.5 y -4sin(y)exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=sin(x^2)y$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-sin(x)sin(y)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-sinh(x)sinh(y)=0$ == ? $y^((1))(x)=exp(x-y)-x$ == ? $x(d^0.5y)/dx^0.5-y-2x=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=sinh(x-1)sinh(y-1)$ == ? $y^((0.5))(x)-exp(-x)y^2=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=y/xsin(x)$ == ? $(dy)/dx-sin(x-y)-1=0$ == ? $(d^2.5y)/dx^2.5=y(d^0.5y)/dx^0.5$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=y(dy)/dx$ == ? $(d^(2-i)y)/dx^(2-i)- y+x=0$ == ? $(d^2y)/dx^2=y^3x^2$ == ? $y(d^2y)/dx^2-x^2-3x-1=0$ == ? $y(d^2y)/dx^2-2x^2-3x-1=0$ == ? $(y-x-1)(d^2y)/dx^2-3x-1=0$ == ? $y^2(d^2y)/dx^2-x^2-4x-4=0$ == ? $(y-x-1)(d^2y)/dx^2-x^2-4x-4=0$ == ? $y(d^2y)/dx^2-2x^2-2x-1=0$ == ? $y(d^3y)/dx^3-6x^3-3x^2-3x-1=0$ == ? $y^((0))(x)y^((1))(x)y^((2))(x)=x^2$ == ? $y^((3))(x)y^((2))(x)=y^((1/2))(x)$ == ? $y^((3))(x)=exp(x)y^((1))(x)y^((1/2))(x)$ == ? $y^((1/2))(x)y^((3))(x)=exp(x)$ == ? $y^((1/2))(x)y^((2))(x)=exp(x)$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-2xy-1=0$ == ? $y^2(d^0.5y)/dx^0.5-x^2-4x-4=0$ == ? $exp(y-1)(d^0.5y)/dx^0.5-x=0$ == ? $y(d^2y)/dx^2-(x-2)(2x-4)=0$ == ? $y(d^3y)/dx^3-6x^3-4x^2-4x-1=0$ == ? $exp(y-1)(d^2y)/dx^2-exp(x)=0$ == ? $y^2(d^2y)/dx^2-x^2-1=0$ == ? $1/y^2(d^2y)/dx^2-x^2-1=0$ == ? $(y-x-1)(d^3y)/dx^3-(x-2)(2x-4)(3x-1)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-2x^2y^2-8x^2=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-2xy^2-8x=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-y^2-2y-2=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-log(y-1)exp(x)=0$ == ? $y(d^2y)/dx^2-(dy/dx)^2-1=0$ == ? $(d^2y)/dx^2-asin(y-1)-sin(x)-x=0$ == ? $dy/dx(x--y)-x--y-1 = 0$ == ?

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