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数列求和(四)

\[ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n\left( {n + 1} \right) = \frac{1}{3}n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \]

\[ 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \] \[ = \frac{1}{4}n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) \]

\[ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) \] \[ = \frac{1}{5}n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right) \]

\[ \sum\limits_{j = 1}^n {j\left( {j + 1} \right)} \cdots \left( {j + k} \right) = \frac{1}{{k + 2}}\frac{{\left( {n + k + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} \]

\[ \sum\limits_{j = 1}^n {j\left( {j + 1} \right)^2 } = \frac{1}{{12}}n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {3n + 5} \right) \]

\[ \sum\limits_{j = 1}^n {j\left( {j + 1} \right)^2 } \left( {j + 2} \right) = \frac{1}{{10}}n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)\left( {2n + 3} \right) \]

\[ \sum\limits_{j = 1}^n {j\left( {n^2 - j^2 } \right)} = \frac{1}{4}n^2 \left( {n^2 - 1} \right) \]

\[ \sum\limits_{j = 1}^n {2^j j\left( {j + 1} \right) = 2^{n + 1} \left( {n^2 - n + 2} \right) - 4} \]


参阅
  1. 数学符号
  2. 数学手册 - 索引
  3. 高中数学 - 索引
  4. 初等数学 - 代数 - 几何 - 函数
  5. 高等数学 - 讲义 - 数学分析
  6. 公式 - 图表 - 动画
  7. 书单 - QQ群 614057790, 580127315 下截书
  8. 数学软件 - 数学手册计算器
  9. 例题:

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