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数列求和(五)

\[ \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \cdots + \frac{1}{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}} \]

\[ \frac{1}{{1 \cdot 2 \cdot 3}} + \frac{1}{{2 \cdot 3 \cdot 4}} + \frac{1}{{3 \cdot 4 \cdot 5}} + \cdots + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \] \[ = \frac{1}{4} - \frac{1}{{2\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \]

\[ \frac{1}{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}} + \frac{1}{{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}} + \frac{1}{{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}} + \cdots + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} \] \[ = \frac{1}{{18}} - \frac{1}{{3\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} \]

\[ \sum\limits_{j = 2}^n {\frac{1}{{\left( {j + 1} \right)\left( {j - 1} \right)}}} = \sum\limits_{j = 2}^n {\frac{1}{{j^2 - 1}} = \frac{3}{4} - \frac{1}{{2n}} - \frac{1}{{2\left( {n + 1} \right)}}} \]

\[ \sum\limits_{j = 1}^n {\frac{1}{{\left( {2j + 1} \right)\left( {2j - 1} \right)}}} = \frac{n}{{2n + 1}} \]

\[ \sum\limits_{j = 1}^n {\frac{1}{{\left( {3j - 2} \right)\left( {3j + 1} \right)}}} = \frac{n}{{3n + 1}} \]

\[ \sum\limits_{j = 1}^n {\frac{1}{{\left( {2j - 1} \right)\left( {2j + 1} \right)\left( {2j + 3} \right)}}} = \frac{1}{{12}} - \frac{1}{{4\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}} \]

\[ \sum\limits_{j = 1}^n {\frac{1}{{\left( {3j - 2} \right)\left( {3j + 1} \right)\left( {3j + 4} \right)}}} = \frac{1}{{24}} - \frac{1}{{6\left( {3n + 1} \right)\left( {3n + 4} \right)}} \]


参阅
  1. 数学符号
  2. 数学手册 - 索引
  3. 高中数学 - 索引
  4. 初等数学 - 代数 - 几何 - 函数
  5. 高等数学 - 讲义 - 数学分析
  6. 公式 - 图表 - 动画
  7. 书单 - QQ群 614057790, 580127315 下截书
  8. 数学软件 - 数学手册计算器
  9. 例题:

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