拉普拉斯变换

拉普拉斯变换^[2]  是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式

(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。

拉普拉斯逆变换是已知F(s) 求解 f(t) 的过程。用符号 表示。

拉普拉斯逆变换的公式是：

为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。 用 f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s=σ+j&owega；的一个函数，其中σ和&owega; 均为实变数，j²=-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定：

如果对于实部σ >σ_c的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σ_c时积分不存在，便称 σ_c为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σ_c为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上，常称F(s)为f(t)的象函数，记为F(s)=L[f(t)]；称f(t)为F(s)的原函数，记为f(t)=L^-1[F(s)]。

函数变换对和运算变换性质 　利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。

拉普拉斯变化的存在性：为使F(s)存在，积分式必须收敛。有如下定理：

如因果函数f(t)满足：（1）在有限区间可积，（2）存在σ₀使|f(t)|e^-σt在t→∞时的极限为0，则对于所有σ大于σ₀，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。

线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质、初值定理与终值定理 ^[1]  。

位移性质：设F(s)=L[f(t)]，则有

它们分别表示时域中的位移定理和复域中的位移定理。^[3] 

微分性质： 。^[3] 

法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天体力学和物理学。他认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理论》中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用， 并导入“拉普拉斯变换”。拉普拉斯变换导致了后来海维塞德发现运算微积分在电工理论中的应用。^[4] 

对于任何函数 ，假定 时 ，当 足够大时，函数 的傅立叶变换就有可能存在，即

再根据傅立叶逆变换可得

记 ， ，并注意到 ，于是我们便可得到

当 ，其实就是 的傅立叶变换，因此有时候我们称傅立叶是特殊的拉普拉斯变换^[5]  。引入 的原因是： 不一定满足傅立叶变换的狄里赫利条件，而 在 足够大时可以满足傅立叶变换的条件。 的拉普拉斯变换本质是 的傅立叶变换，对于 而言，这种变换改变傅立叶正变换中的原函数（原函数乘以指数衰减函数项），也改变了傅立叶逆变换的积分因子（ ），这种变换就是 的拉普拉斯变换。应当注意此时的 ，它的讨论范围就不再单单是频率 而是一个复数(包含频率 )的 。

有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，

据此，在“电路分析”中，元件的伏安关系可以在复频域中进行表示，即电阻元件：V=RI,电感元件：V=sLI,电容元件：I=sCV。如果用电阻R与电容C串联，并在电容两端引出电压作为输出，那么就可用“分压公式”得出该系统的传递函数为H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))， 于是响应的拉普拉斯变换Y（s）就等于激励的拉普拉斯变换X（s）与传递函数H（s）的乘积，即Y(s)=X(s)H(s)

如果定义：f(t)是一个关于t的函数，使得当t<0时候，f(t)=0；s是一个复变量； 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分
`int_0^oo f(t) exp(-s t)` dt；
F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。则 f(t)的拉普拉斯变换由下列式子给出：
。

在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。

应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。