一些重要的偏微分方程(组)

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拉普拉斯方程

背景：描述势场中的潜在分布，适用于电场、重力场和温度场的分析。研究势场的空间分布和等势面形态，解释电势、重力势和温度场。

方程：

pde ds(y,x,2)--ds(y,u,2)--ds(y,v,2)=0

Poisson方程

背景：描述流体力学中的静电势和压力场，是许多问题的辅助方程。研究势场的空间分布，用于解决压力场和速度场的解耦问题。

方程：

在没有自由电荷的区域里，ρ=0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程

热传导方程

背景：描述热传导过程，是热力学的基础方程之一。研究温度场的时间和空间演化，用于分析流体中的热传导和热对流问题。

方程：

pde ds(y,t)=a*(ds(y,x,2)--ds(y,u,2)--ds(y,v,2))

热传导方程（非均匀热传导）

背景：描述非均匀介质中的热传导过程，考虑热导率随空间变化的情况。研究非均匀介质中的温度分布和热传导速率，解释材料的热传导性能。

方程：

pde ds(y,t)=d(exp(x)*d(y(x)))

波方程

背景：描述波动现象中的超声波、激波和冲击波，具有双曲型特征方程。研究波的传播速度和形态变化，解释超声波成像和激波现象。

方程：

pde ds(y,t,2)=2^2*ds(y,x,2)

连续性方程

背景：描述质量守恒，适用于所有类型的流体。研究流体密度和速度场的关系，确保质量守恒。

方程：

pde ds(y,t)=ds(y)*x+ds(y)

Burger方程

背景：描述粘性流体中冲击波和非线性扩散过程。研究速度场的时间演化，特别关注冲击波形成和解的光滑性。

方程：

$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ pde ds(y,t)--y*ds(y,x)=v*ds(y,x,2)

广义Burgers方程

背景：是Burgers方程的推广，描述了粘性和非线性的流体流动，具有广泛的应用，包括气象学、凝聚态物理学和数学物理学。研究非线性流体流动中的激波和涡旋形成，以及解的特性和稳定性。

方程：

$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ^2$ pde ds(y,t)--y*ds(y,x)=v*ds(y,x,2)-ds(y,x,2)^2

Euler方程

背景：描述无粘性流体(理想流体)的运动，由瑞士数学家Leonhard Euler 在1757年提出。研究理想流体的速度场和压力的演化，关注漩涡/奇性形成和流动稳定性。

方程：

pde ds(y,t)--y*(ds(y,x)--ds(y,u)--ds(y,v))=f

Navier-Stokes方程

背景：描述粘性不可压缩流体的运动，是流体力学的基础方程之一。由法国工程师Navier和爱尔兰物理学家Stokes分别在19世纪提出。研究流体速度场和压力的演化，特别关注解的存在性、唯一性和正则性。

方程：

Stokes方程

背景：描述低雷诺数下的粘性流体运动，是Navier-Stokes方程的简化形式。研究缓慢流动或高粘性流体的速度场和压力场，应用于微流体力学和生物流体力学。

方程：

伯努利方程

背景：描述沿流线的能量守恒，适用于理想流体。研究流体在不同位置的速度、压力和高度之间的关系，用于分析流体动力和静力问题。

方程：

Prandtl边界层方程

背景：描述粘性流体在固体表面附近的运动，由德国物理学家Ludwig Prandtl在1904年提出。研究固体表面附近薄层中的流体运动，分析流体分离和湍流转捩。

方程：

Reynolds 平均 Navier-Stokes (RANS)方程

背景：描述湍流流动的统计特性，使用时间平均的方法。研究平均速度场和湍流应力张量的关系，解决湍流模拟中的闭合问题。

方程：

$\rho \left( \frac{\partial \bar{\mathbf{u}}}{\partial t} + \bar{\mathbf{u}} \cdot \nabla \bar{\mathbf{u}} \right) = -\nabla \bar{p} + \mu \Delta \bar{\mathbf{u}} + \mathbf{f} - \rho \nabla \cdot \mathbf{R}$

Korteweg-de Vries (KdV)方程

背景：描述浅水波的传播，是非线性波动方程的经典模型。研究孤波和非线性波的传播，分析波的稳定性和相互作用。

方程：

$\frac{\partial u}{\partial t} + 6u \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = 0$

pde ds(y,t)--6y*ds(y,x)--ds(y,x,3)=0

Boussinesq方程

背景：描述温度梯度引起的浮力效应，是热对流问题的重要模型。研究温度梯度对流体运动的影响，分析自然对流和热传输。

方程：

旋转浅水波方程

背景：描述在旋转参照系中浅水波的运动，适用于地球物理流体动力学。研究浅水波在旋转参照系中的行为，分析科里奥利力对波动的影响。

方程：

Helmholtz方程

背景：描述稳态波动问题，是波动方程的频域表示。研究稳态波的空间分布，用于声学、光学和流体动力学中的波动分析。

方程：

Kinematic Wave方程

背景：描述流体中的波动和传输现象，是一个简化的非线性波方程。研究流体中的波动和传输现象，特别关注波的传播速度和波形变化。

方程：

MHD方程(磁流体力学方程)

背景：描述电导流体中磁场和电场的演化，用于等离子体物理和天体物理学。研究等离子体中磁场和流体运动的相互作用，解释太阳风、地球磁层等现象。

方程：

Boltzmann方程

背景：描述气体分子在气体中的运动，是气体动理学的基础。研究气体分子的运动行为，解释气体动力学现象，如粘性、热传导和扩散。

方程：

Cahn-Hilliard方程

背景：描述相分离过程中物质浓度的演化，适用于材料科学和相变动力学。研究相分离材料的形态演化和稳定性，解释相变现象和材料结构形成。

方程：

$\frac{\partial c}{\partial t} = \nabla \cdot \left( M \nabla \left( \frac{\delta F}{\delta c} - \epsilon^2 \nabla^2 c \right) \right)$

Allen-Cahn方程

背景：描述相变过程中的界面演化和形态学，是Cahn-Hilliard方程的渐近模型。研究界面的扩散和形态演化，用于模拟晶体生长和相变动力学。

方程：

Maxwell方程组

背景：描述电磁场的行为，包括电场和磁场的产生、传播和相互作用。研究电磁波的传播和场的相互作用，解释光学、电磁学和电子学中的现象。

方程：

Schrödinger方程

背景：是量子力学的基本方程之一，描述了量子系统中粒子的波函数随时间和空间的演化。研究量子系统中的波函数演化和态的变化，解释粒子的量子行为和波粒二象性。

方程：

$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V \psi$

Fisher方程

背景：描述种群分布随时间和空间的演化，是生态学和流行病学中的经典模型。研究种群的增长和分布，解释生态系统的稳定性和生物多样性。

方程：

Fisher-KPP方程

背景：描述具有向前传播性质的生物种群扩散现象，是Fisher方程的扩展。研究生物种群的扩散速度和前沿形态，解释入侵生物种群的扩散现象。

方程：

Kuramoto-Sivashinsky方程

背景：描述表面张力驱动的非线性振荡和涡旋形成，适用于流体动力学和火焰传播。研究表面波动和湍流的演化，解释流体中的不稳定现象和涡旋结构。

方程：

$\frac{\partial \omega}{\partial t} + u \frac{\partial \omega}{\partial x} + v \frac{\partial \omega}{\partial y} = - \nabla^2 \omega - \beta \nabla^4 \omega$

弹性方程

背景：描述固体材料的变形和应力分布，是固体力学的基础方程之一。研究材料的弹性性质和变形行为，解释材料的力学性能和结构稳定性。

方程：

流体-结构耦合方程

背景：描述流体和结构相互作用的动力学方程，适用于海洋工程和风力发电等领域。研究流体对结构的作用力和结构对流体的影响，优化工程设计和性能。

方程：

$\rho_f \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \Delta \mathbf{u} + \mathbf{f}_s$

土壤水文方程

背景：描述土壤中水分运动和水文循环过程，是土壤水文学的基础方程。研究土壤水分的变化和分布，解释地下水位、土壤侵蚀和作物灌溉。

方程：

生物扩散方程

背景：描述生物物质在生物组织中的扩散和传输，适用于生物医学领域。研究药物在组织中的扩散速率和分布，解释药物输送和治疗效果。

方程：

混合对流-扩散方程

背景：描述了在流体流动中扩散物质的传输，同时考虑了对流和扩散的影响，是环境工程和地下水流动中常见的方程之一。研究在流动介质中物质的传输和分布，例如地下水中的污染物传输或大气中的气溶胶传播。

方程：

黑洞方程

背景：描述了黑洞的引力场和时空结构，是爱因斯坦广义相对论的解之一。研究黑洞的形成、演化和性质，解释宇宙中的引力现象和时空扭曲。

方程：

等离子体方程

背景：描述了等离子体中等离子体和电磁场之间的相互作用，是等离子体物理学和核聚变研究的基础。研究等离子体的稳定性和性质，解释核聚变反应和等离子体在太阳和恒星中的行为。

方程：

可压缩Navier-Stokes方程

背景: 可压缩Navier-Stokes方程描描述了可压缩流体的运动、质量、动量和能量的守恒规律，是研究流体动力学、空气动力学和火箭推进等领域的基础。

连续性方程:

动量方程:

能量方程:

$\frac{\partial}{\partial t} \left( \rho e + \frac{1}{2} \rho u^2 \right) + \nabla \cdot \left[ (\rho e + p) \mathbf{u} - \mathbf{u} \cdot \tau + k \nabla T \right] = \rho \mathbf{u} \cdot \mathbf{f}$

状态方程:

Camassa-Holm 方程

背景：Camassa-Holm方程是一类非线性偏微分方程，起源于流体力学和数学物理学领域。这个方程最初由 Camassa-Holm于1993年提出，并用于描述了具有非线性和色散特性的一维水波行为。与其他水波方程相比，Camassa-Holm方程具有更广泛的适用性，因为它能够模拟一维水波的断裂现象。研究方程的解的存在性、唯一性和稳定性，以及方程的整体解析性质;寻找方程的孤子解，研究它们的行为和相互作用，探索与孤子解相关的保形变换等。

方程：

$u_t - u_{xxt} + 2u_xu_{xx} + uu_{xxx} = 0$ pde ds(y,t)--2ds(y,x)*ds(y,x,2)--y*ds(y,x,3)=0

其中：

是表示水波表面位移的函数；
是空间变量；
是时间变量。

$(d^0.5y)/dx^0.5 = sin(x-1)sin(y-1)$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 -cosh(y)-sinh(y)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-int y(x) (dx)^(0.8)-y-exp(x)=0$ == ? $int y(x) (dx)^0.5 -y-exp(x)$ =0 == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)x=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)y=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=cos(x)/xy$ == ? $y(dy^0.5)/dx^0.5-sqrt(x)-1=0$ == ? $(d^1.2y)/(dx^1.2)-2(d^0.6y)/dx^0.6+y-exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=cos(y)exp(x)x$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-2(d^0.8y)/dx^0.8+y-exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)sqrt(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-3 (d^0.8y)/dx^0.8+2y-exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5$ +log(y-1)-exp(x)-x=0 == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-exp(y)sin(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 = ysin(x)/x$ == ? $y^((0.5))(x) -4 exp(x)y-exp(x)=0$ == ? $(dy^0.5)/dx^0.5 = 1/(x-y)$ == ? $dy/dx-(d^0.5y)/dx^0.5$ - y - exp(x)=0 == ? $(dy)/dx -exp(y-1)-x-x^2=0$ == ? $(d^1.2y)/(dx^1.2)-3dy^0.6/dx^0.6+2y-exp(x)=0$ == ? $dy/dx-(d^0.5y)/dx^0.5-y-1$ =0 == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-cos(y)sin(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(4x)=0$ == ? $dy/dx-exp(y-1)-exp(x)=0$ == ? $(dy)/dx - 2(d^0.5y)/dx^0.5-y-exp(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 -e^(4x)-y$ =0 == ? $y^((0.5))(x) - exp(x)y-exp(x)=0$ == ? $y^((0.5))(x) - exp(x)y-4exp(x)=0$ == ? $(dy)/dx -3(d^0.5y)/dx^0.5 +2y-exp(x)=0$ == ? $y(d^0.5y)/dx^0.5-sqrt(x)-1=0$ == ? $y^((1))(x)-exp(y-1)-x=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-2y-exp(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(4x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 - log(y-1) - exp(x) + x=0$ == ? $(dy)/dx +asin(y-1) - cos(x)-x=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-3(d^0.8y)/dx^0.8+2y-exp(x)=0$ == ? $(dy)/(dx) -sqrt(y-1)-x-1 =0$ == ? $(dy)/(dx) -exp(y-1)-exp(x) = 0$ == ? $(dy)/dx$ +asinh(y-1)-cosh(x)-x =0 == ? $((d^(1/2)y)/dx^(1/2))^2 -3y (dy^0.5)/dx^0.5 + 2y^2 = 0$ == ? $(dy^0.5)/dx^0.5 = cos(x)cos(y-1)$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5 +log(y-1)-exp(x)-x=0$ == ? $(dy^0.5)/dx^0.5 = sin(x-1)exp(y-1)$ == ? $y(d^2y)/dx^2-(dy/dx)^2+1=0$ == ? $y^((1))(x)-exp(y-1)-log(x)=0$ == ? $(d^2y)/dx^2 exp(x)- exp(y-1)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-2 (d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-2 (d^0.8y)/dx^0.8+y-exp(x)=0$ == ? $(dy)/dx -3 (d^0.5y)/dx^0.5+2y-exp(x)=0$ == ? $y^((0.5))(x) - xy-x=0$ == ? $y(dy^3)/dx^3-x^3-3x^2-3x-1=0$ == ? $y^((1.8))(x)-2y^((0.9))(x) +y-1=0$ == ? $y^((0.5))(x)=1/(xy-1)$ == ? $y^((2))(x)y^2-x^2-2x-1=0$ == ? $((d^0.5y)/dx^0.5)^2 -5(d^0.5y)/dx^0.5 +6=0$ == ? $y^((0.5))(x) -2 exp(x)y-4exp(x)=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-(d^0.8y)/dx^0.8-y-exp(x)=0$ == ? $y^(0.5)(x)=2yexp(x)$ == ? $y^((0.5))(x)-exp(x)y^2=0$ == ? $(d^1.6y)/(dx^1.6)-2(d^0.8y)/dx^0.8+y-exp(x)=0$ == ? $y^((1))(x)-y^2-xy=0$ == ? $y^((1))(x)-y^((0.5))(x) -y-1=0$ == ? $y^((2))(x) -y^2-x^2=0$ == ? $y^((2))(x) -y^2-x^2-2xy=0$ == ? $y^((0.5))(x) -int y(x) (dx)^0.5-y-exp(x)=0$ == ? $d^0.5/dx^0.5 y -2cos(y)exp(x)=0$ == ? $d^0.5/dx^0.5 y -4sin(y)exp(x)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=sin(x^2)y$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-sin(x)sin(y)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-sinh(x)sinh(y)=0$ == ? $y^((1))(x)=exp(x-y)-x$ == ? $x(d^0.5y)/dx^0.5-y-2x=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=sinh(x-1)sinh(y-1)$ == ? $y^((0.5))(x)-exp(-x)y^2=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=y/xsin(x)$ == ? $(dy)/dx-sin(x-y)-1=0$ == ? $(d^2.5y)/dx^2.5=y(d^0.5y)/dx^0.5$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5=y(dy)/dx$ == ? $(d^(2-i)y)/dx^(2-i)- y+x=0$ == ? $(d^2y)/dx^2=y^3x^2$ == ? $y(d^2y)/dx^2-x^2-3x-1=0$ == ? $y(d^2y)/dx^2-2x^2-3x-1=0$ == ? $(y-x-1)(d^2y)/dx^2-3x-1=0$ == ? $y^2(d^2y)/dx^2-x^2-4x-4=0$ == ? $(y-x-1)(d^2y)/dx^2-x^2-4x-4=0$ == ? $y(d^2y)/dx^2-2x^2-2x-1=0$ == ? $y(d^3y)/dx^3-6x^3-3x^2-3x-1=0$ == ? $y^((0))(x)y^((1))(x)y^((2))(x)=x^2$ == ? $y^((3))(x)y^((2))(x)=y^((1/2))(x)$ == ? $y^((3))(x)=exp(x)y^((1))(x)y^((1/2))(x)$ == ? $y^((1/2))(x)y^((3))(x)=exp(x)$ == ? $y^((1/2))(x)y^((2))(x)=exp(x)$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-2xy-1=0$ == ? $y^2(d^0.5y)/dx^0.5-x^2-4x-4=0$ == ? $exp(y-1)(d^0.5y)/dx^0.5-x=0$ == ? $y(d^2y)/dx^2-(x-2)(2x-4)=0$ == ? $y(d^3y)/dx^3-6x^3-4x^2-4x-1=0$ == ? $exp(y-1)(d^2y)/dx^2-exp(x)=0$ == ? $y^2(d^2y)/dx^2-x^2-1=0$ == ? $1/y^2(d^2y)/dx^2-x^2-1=0$ == ? $(y-x-1)(d^3y)/dx^3-(x-2)(2x-4)(3x-1)=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-2x^2y^2-8x^2=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-2xy^2-8x=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-y^2-2y-2=0$ == ? $(d^0.5y)/dx^0.5-log(y-1)exp(x)=0$ == ? $y(d^2y)/dx^2-(dy/dx)^2-1=0$ == ? $(d^2y)/dx^2-asin(y-1)-sin(x)-x=0$ == ? $dy/dx(x--y)-x--y-1 = 0$ == ?

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