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反函数

设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。 最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。 一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f (y)或者y=f﹣¹(x)。 存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意:上标"−1"指的并不是幂。
中文名
反函数
外文名
Inverse Function
表达式
`y=f ^(-1)(x)`
特点
可逆性
适用领域
解析几何学、代数学
应用学科
数学

目录

定义

设函数y=f(x)的定义域是D,值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y,在D中有且只有一个x使得g(y)=x,则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数,并把该函数称为函数y=f(x)的反函数,记为
由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数f-1的值域和定义域,并且f-1的反函数就是f,也就是说,函数f和f-1互为反函数,即:
反函数与原函数的复合函数等于x,即:
习惯上我们用x来表示自变量,用y来表示因变量,于是函数y=f(x)的反函数通常写成
例如,函数
的反函数是
相对于反函数y=f-1(x)来说,原来的函数y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线y=x对称。这是因为,如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点,即b=f(a)。根据反函数的定义,有a=f-1(b),即点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称,由(a,b)的任意性可知f和f-1关于y=x对称。
于是我们可以知道,如果两个函数的图像关于y=x对称,那么这两个函数互为反函数。这也可以看做是反函数的一个几何定义。
在微积分里,f (n)(x)是用来指f的n次微分的。
若一函数有反函数,此函数便称为可逆的(invertible) [1] 

反函数存在性

反函数概述

一函数f若要是一明确的反函数,它必须是一双射函数,即:
f为一实变函数,则若f有一明确反函数,它必通过水平线测试,即一放在f图上的水平线
必对所有实数k,通过且只通过一次。 [1] 

反函数存在定理

定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1<x2时,有y1<y2,则称y=f(x)在D上严格单调递增;当x1<x2时,有y1>y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性,对D中任一x'<x,都有y'<y;任一x''>x,都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1
任取f(D)中的两点y1和y2,设y1<y2。而因为f存在反函数f-1,所以有x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),且x1、x2∈D。
若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1<y2矛盾。
因此x1<x2,即当y1<y2时,有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。
如果f在D上严格单减,证明类似。 [1] 

图形

函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称
exp(x) 的反函数 = inverse(exp(x))

sin(x) 的反函数 = inverse(y=sin(x))

性质

(1)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域值域一一映射
(2)一个函数与它的反函数在相应区间单调性一致;
(3)大部分偶函数不存在反函数(当函数y=f(x), 定义域是{0} 且 f(x)=C (其中C是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C},值域为{0} )。奇函数不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。
(4)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
(5)严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数;
(6)反函数是相互的且具有唯一性;
(7)定义域值域相反对应法则互逆(三反);
(8)反函数的导数关系:如果x=f(y)在开区间I上严格单调,可导,且f'(y)≠0,那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导,且:
(9)y=x的反函数是它本身。 [1] 
(10) 函数及其反函数的图形关于直线 y=x 对称.

反函数的符号

反函数的符号记为f -1(x),在中国的教材里,反三角函数记为arcsin、arccos等等,但是在欧美一些国家,sin(x)的反函数记为sin-1(x)。
x-1表示1/x,那么f-1(x)与这是否有些关系呢?下面举几个例子来说明这点。当然,f-1(x)肯定和1/f(x)不等,但是确实有与之很相近的性质。

(1)反函数的反函数

为了好看以及对比,我有时会把f(x)写成f对比,我把我想各位应该很好理解,反函数的反函数当然就是原函数,写成数学语言就是(f-1)-1=f。看看,这是不是有点像指数的运算法则:1/x-1=x呢?

(2)反函数的导函数

如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f '(y)不等于零,则它的反函数y=f-1(x)在区间
内也可导,且
[2] 
用自然语言来说就是,反函数的导数,等于直接函数导数的倒数。这话有点绕,不过应该能读懂,这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。
在这里要说明的是,y=f(x)的反函数应该是x=f-1(y)。只不过在通常的情况下,我们将x写作y,y写作x,以符合习惯。所以,虽然反函数和直接函数不互为倒数,但是各自导函数求出后,二者却是互为倒数。

(3)反函数的复合函数

这个内容属于高等数学的内容了。大伙想想函数里面最简单最基本的函数是什么函数?不用说,肯定就是我们的恒等函数y=x,这就和我们数字里面的1一般地位,所以,我们记恒等函数为“1x”。
数字的基本运算就是加减乘除,而函数也有运算,虽然也有加减乘除,但是属于函数自己的,就是复合与反函数。我们知道在实数里,x与1/x的乘积等于1,在函数的复合运算里,也有类似的性质,函数f和g的复合记为f○g,那么下面的性质成立:f-1○f=1x;1x○f=f○1x=f。
这第一个式子已经说明很多问题。实际上,这些都是属于高等代数的内容,在每一个封闭的系统里,都有一个“单位1”,都有自己的运算法则,函数里的就是1x,实数里的就是数字1等等。要深刻理解这些,也只有大家接触群论以后才会深入理解。这里也只是做点皮毛而已。我将在后面另起一文,介绍函数的“幂”的概念,就如同数的幂一样。 [3] 

说明

(1)在函数x=f -1(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f -1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f -1(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。

(2) 反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),那么函数y=f -1(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f -1(x)互为反函数。

(3) 互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数一定有反函数,如二次函数在R内不是反函数,但在其单调增(减)的定义域内,可以求反函数;另外,反比例函数等函数不单调,也可求反函数。

(4) 从映射定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f -1(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f -1(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f -1(x)的定义域(如下表):
函数:y=f(x);
反函数:y=f -1(x);
定义域: A,C;
值域: C,A;
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为:
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域上的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f -1所确定的函数y=f -1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f -1(x)的定义域值域分别对应原函数y=f(x)的值域、定义域.。开始的两个例子:s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f -1(s)=s/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为:f -1(x)=x/2-3.
有时是反函数需要进行分类讨论,如:f(x)=x+1/x,需将x进行分类讨论:在x大于0时的情况,x小于0的情况,多是要注意的。
一般分数函数y=(ax+b)/(cx+d)(其中ad≠bc)的反函数可以表示为y=(b-dx)/(cx-a),这可以通过简单的四则运算来证明。 [1] 

书单

  • 课件: - 初等函数 - 目录
  • 高中数学手册 - 初等函数
  • 数学手册 :- 初等函数
  • 初等数学 :- 初等函数
  • 公式图表 :- 初等函数
  • 数学分析讲义 :- 初等函数

    参考资料

    • 1.    课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心编 .人教版A版高中数学必修一:人民教育出版社 ,2007
    • 2.    同济大学数学系.高等数学(第六版上册).北京:高等教育出版社,2007:90
    
    参阅
    1. 数学 - 数学符号 - 数学索引
    2. 手册 = 中学数学手册 + 数学手册 + 实用数学手册
    3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
    4. 高等数学 = 基础数学 ( 代数 + 几何 + 分析 ) + 应用数学
    5. 公式 - 图表 - 动画 - 立体图
    6. 书单 = 数学 + 物理 + 化学 + 计算机 + 医学 + 英语 - QQ群 614057790 下载书
    7. 数学手册计算器 = 数学 + 手册 + 计算器 + 计算机代数系统
    8. 例题:
    
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